a, ta có: góc AEI = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => EI\(\perp\)AK tại E và AH\(\perp\)KI tại H (gt)

chúng cắt nhau tại B => B là trực tâm. => KB vuông góc AI (đpm)

b, ta có: góc ECA = góc EBA ( cùng chắn cung AE) mà góc EBA= góc HBI (hai góc đối đỉnh) (4)

ta lại có: góc HBI + góc HIB =90^o (tổng 3 góc trong một tam giác) (3)

=> góc ECA + góc HIB = 90^o (1)

Xét tam giác CEI vuông tại E nên: góc EKI + góc HIB =90^o (2)

Từ (1) và (2) => góc ECA = góc EKI 

=> tứ giác EKNC là tứ giác nội tiếp ) (đpcm)

c,Ta có: góc EAB + góc EBA = 90^o và từ (3), (4) => góc EAB = góc BIH

mà góc EAB = góc BEN ( bằng 1/2 sđ cung EB)

=> góc BIH = góc BEN=> tam giác ENI cân tại N=> EN =NI (*)

Tương tự, ta có góc K + góc KAH = 90^o

góc KEN + góc NEB =90^o mà góc KAH = góc NEB (c.m.t)  => góc KEN = góc K   => tam giác KNE cân tại N => NK = NE (**)

từ (*) và (**) => NK = NI hay N là trung điểm KI ( đpcm)

trả lời đúng thì k cho mình chứ?

Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của My Trấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Với câu c, khi đã có IK // AD thì vận dụng Ta let ta có ngay \(\frac{IC}{AD}=\frac{IK}{AD}\Rightarrow IC=IK\) 

a: Sửa đề: AEBF là hình chữ nhật

Xét tứ giác AEBF có

AB cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

nên AEBF là hình bình hành

Hình bình hành AEBF có AB=EF

nên AEBF là hình chữ nhật

b: ΔBEH vuông tại E

mà EP là đường trung tuyến

nên EP=PB=PH=HB/2

Xét ΔOBP và ΔOEP có

OB=OE

BP=EP

OP chung

Do đó: ΔOBP=ΔOEP

=>\(\widehat{OEP}=\widehat{OBP}=90^0\)

=>PE là tiếp tuyến của (O)

c: AM\(\perp\)EF

=>\(\widehat{AFE}+\widehat{MAK}=90^0\)

mà \(\widehat{AFE}=\widehat{ABE}\)(AFBE là hình chữ nhật)

nên \(\widehat{MAK}+\widehat{ABE}=90^0\)

mà \(\widehat{ABE}=\widehat{AHK}\left(=90^0-\widehat{BAH}\right)\)

nên \(\widehat{MAK}+\widehat{AHK}=90^0\)

mà \(\widehat{MKA}+\widehat{AHK}=90^0\)(ΔAKH vuông tại A)

nên \(\widehat{MAK}=\widehat{MKA}\)

=>MA=MK

\(\widehat{MAK}+\widehat{MAH}=90^0\)

\(\widehat{MKA}+\widehat{MHA}=90^0\)

mà \(\widehat{MAK}=\widehat{MKA}\)

nên \(\widehat{MAH}=\widehat{MHA}\)

=>MA=MH

mà MA=MK

nên MK=MH

=>M là trung điểm của KH 

+) Dựng đường thẳng vuông góc với BN tại M cắt AC,D tại E,F. Khi đó: M là trung điểm EF

Thật vậy: Dễ thấy tứ giác ACBD là hình vuông => ^BDF = 90⁰. Có ^BMF = 90⁰ Suy ra: Tứ giác BMFD nội tiếp

=> ^BFM = ^BDM = 45⁰. Do đó: \(\Delta\)BMF vuông cân tại M => MF = MB

Lại thấy: ^BME = ^BCE = 90⁰ => Tứ giác BECM nội tiếp => ^BEM = ^BCM = 45⁰ 

=> \(\Delta\)BME vuông cân tại M => MB = ME. Từ đó: ME = MF (Hoàn tất c/m)

+) Ta có: \(\Delta\)BEF vuông cân tại B => BE = BF. Kết hợp: BC = BD, ^BCE = ^BDF (=90⁰)

Suy ra: \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)BDF (Ch.cgv) => CE = DF (Cạnh tương ứng) 

Từ đó: AE + AF = AC + CE + AF = AC + DF + AF = AC + AD = 2AC = R.\(2\sqrt{2}\)= 6\(\sqrt{2}\)(cm) (R=3 cm)

Vậy tổng AE + AF = const (đpcm).

cho mình hỏi cũng đề này mà chứng minh :

1 ND là đường phân giác của góc ANB 

2. tính căn của BM.BN

1: góc CND=1/2*180=90 độ

Vì góc CNE+góc CKE=180 độ

nên CNEK nội tiếp 

2: Xét ΔMNE và ΔMBC có

góc MNE=góc MBC

góc M chung

=>ΔMNE đồng dạng với ΔMBC

=>MN/MB=ME/MC

=>MN*MC=MB*ME